一、基础概念速查
1. 任意角与弧度制
| 概念 | 内容 |
|---|
| 弧度与角度 | 180° = π rad | 1° = π/180 rad | 1 rad ≈ 57.3° |
| 弧长公式 | l = |α|·r |
| 扇形面积 | S = ½·l·r = ½·|α|·r² |
| 终边相同的角 | β = α + 2kπ（k∈Z），可统一为 {β | β = α + 2kπ, k∈Z} |
| 象限角判断 | α∈第一象限 ⟺ 2kπ < α < π/2 + 2kπ（其余象限同理，按 90° 分块） |
2. 任意角的三角函数定义（单位圆）
设角 α 终边与单位圆交于点 P(x, y)，则
sinα = y，cosα = x，tanα = y/x（x ≠ 0）
推广到一般点 P(x, y)，r = √(x²+y²)：sinα = y/r，cosα = x/r，tanα = y/x
3. 三角函数值在各象限的符号
记忆口诀：「一全正，二正弦，三正切，四余弦」
| 象限 | sin | cos | tan |
|---|
| 第一象限 | + | + | + |
| 第二象限 | + | − | − |
| 第三象限 | − | − | + |
| 第四象限 | − | + | − |
判断正负是诱导公式「符号看象限」的依据，务必熟练。
二、特殊角三角函数值表（必背）
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|
| 弧度 | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π |
| sinα | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| cosα | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1/2 | −√2/2 | −√3/2 | −1 |
| tanα | 0 | √3/3 | 1 | √3 | 不存在 | −√3 | −1 | −√3/3 | 0 |
记忆技巧
sin 值按序：
0、½、√2/2、√3/2、1（0°→90° 递增）；cos 正好倒过来。
tan = sin / cos，可自行推算。45° 为中心对称轴：sin(π−α)=sinα，cos(π−α)=−cosα。
三、同角三角函数基本关系
① sin²α + cos²α = 1 ② tanα = sinα / cosα
两个重要变形（解题常客）
- (sinα ± cosα)² = 1 ± 2sinαcosα → 已知 sinα+cosα 可求 sinα·cosα 及 sinα−cosα
- 齐次式化切：分子分母同除以 cosⁿα，化成 tanα 的式子
典型应用
知一求二：已知 sinα = 3/5 且 α 在第二象限，求 cosα、tanα。
cosα = −√(1−sin²α) = −4/5（先定符号再开方），tanα = (3/5)/(−4/5) = −3/4。
四、诱导公式全表（核心必考）
奇 变 偶 不 变 ， 符 号 看 象 限
公式组（k·π/2 ± α 形式，k∈Z）
| 公式 | sin | cos | tan | 函数名变化 |
|---|
| α + 2kπ | sinα | cosα | tanα | 不变（周期） |
| −α（负角） | −sinα | cosα | −tanα | 不变，余弦偶函数 |
| π − α | sinα | −cosα | −tanα | 不变 |
| π + α | −sinα | −cosα | tanα | 不变 |
| 2π − α | −sinα | cosα | −tanα | 不变（= −α） |
| π/2 − α（互余） | cosα | sinα | cotα | 变（奇） |
| π/2 + α | cosα | −sinα | −cotα | 变（奇） |
| 3π/2 − α | −cosα | −sinα | cotα | 变（奇） |
| 3π/2 + α | −cosα | sinα | −cotα | 变（奇） |
口诀解读（怎么用）
把 α
一律看成锐角，再判断「α 所在象限」对应原函数符号：
奇变偶不变：k·π/2±α 中，k 为奇数 → 函数名变（sin↔cos，tan↔cot）；k 为偶数 → 函数名不变。
符号看象限：先把 α 当锐角，看 k·π/2±α 落在第几象限，取
原函数在该象限的符号。
例：sin(π+α)，k=2 偶数名不变；π+α 在第三象限，sin 为负 → sin(π+α) = −sinα ✓
化简流程（大角化小角）
任意角 →（加/减 2π 的倍数）→ (0, 2π) 内角 →（π−α 或 π+α 或 2π−α）→ 锐角三角函数值
例：sin(−330°) = sin(30° − 360°) = sin30° = 1/2
例：cos(19π/6) = cos(7π/6 + 2π) = cos(π + π/6) = −cos(π/6) = −√3/2
五、三角函数的图像与性质（三兄弟对比）
1. 正弦函数 y = sinx
2. 余弦函数 y = cosx
3. 性质对比表（重点背诵）
| 性质 | y = sinx | y = cosx | y = tanx |
|---|
| 定义域 | R | R | x ≠ π/2 + kπ |
| 值域 | [−1, 1] | [−1, 1] | R |
| 最小正周期 | 2π | 2π | π |
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
| 单调递增 | [−π/2+2kπ, π/2+2kπ] | [−π+2kπ, 2kπ] | (−π/2+kπ, π/2+kπ) |
| 单调递减 | [π/2+2kπ, 3π/2+2kπ] | [2kπ, π+2kπ] | 无 |
| 对称轴 | x = π/2 + kπ | x = kπ | 无 |
| 对称中心 | (kπ, 0) | (π/2 + kπ, 0) | (kπ/2, 0) |
| 零点 | x = kπ | x = π/2 + kπ | x = kπ |
| 最大值点 | x = π/2+2kπ 时 y=1 | x = 2kπ 时 y=1 | — |
| 最小值点 | x = −π/2+2kπ 时 y=−1 | x = π+2kπ 时 y=−1 | — |
⚠️ 正切函数三大「与众不同」
- 定义域挖掉 π/2+kπ，图像有竖直渐近线，不连续
- 无对称轴、无最值
- 周期是 π 而不是 2π（在每段 (−π/2+kπ, π/2+kπ) 内单调递增）
六、y = Asin(ωx + φ) + B 的图像变换
| 参数 | 含义 | 求法 |
|---|
| A | 振幅（竖直伸缩） | A = (最大值 − 最小值) / 2 |
| B | 上下平移量 | B = (最大值 + 最小值) / 2 |
| ω | 角速度（水平伸缩） | ω = 2π / T（T 为周期） |
| φ | 初相（水平平移） | 代特殊点 / 五点法第一点 |
1. 五点作图法
令 ωx + φ = 0, π/2, π, 3π/2, 2π，解出 5 个 x，描点连线。这 5 个点分别对应：起点、峰、平衡、谷、终点。
2. 平移伸缩规则（易错重点）
口诀：「左加右减，上加下减」——但只针对 x 本身
- 水平平移：y = sin(ωx+φ) 向左平移 m 个单位 → y = sin[ω(x+m)+φ] = sin(ωx + φ + ωm)
⚠️ 平移量是「给 x 加的数」，即 (φ 变化量)/ω，不是直接看 φ 变化
- 例：y = sin(2x + π/3) 向左平移 π/6 → y = sin[2(x+π/6) + π/3] = sin(2x + 2π/3)，不是 sin(2x + π/2)
- 竖直平移：y = sinx + 1（上加 1），y = sinx − 2（下减 2）
- 顺序陷阱：先平移后伸缩 vs 先伸缩后平移，结果相同但平移量不同，考试常设坑
3. 由图像求解析式（三步法）
- 看最值 → 求 A、B：A = (M−m)/2，B = (M+m)/2
- 看周期 → 求 ω：相邻两个峰（或谷）间距 = T，ω = 2π/T
- 代点 → 求 φ：代入一个已知点（最好选峰/谷或零点），解出 φ
4. 求单调区间 / 对称性（通用套路）
以求 y = sin(2x + π/3) 的单调递增区间为例：
令 −π/2 + 2kπ ≤ 2x + π/3 ≤ π/2 + 2kπ，解不等式：
−5π/6 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/6 + 2kπ → [−5π/12 + kπ, π/12 + kπ]
⚠️ 若 ω < 0（如 sin(−2x+π/3)），先用诱导公式把负号提出来变成 sin(2x−π/3) 再求，否则单调性会反。
七、典型题型与易错点
题型 1：诱导公式化简求值
化简 f(x) = sin(π+x)·cos(3π/2+x) ÷ tan(π−x)
= (−sinx)·(sinx) ÷ (−tanx) = sin²x ÷ (sinx/cosx)·(−1)·(−1)… → 逐步代入符号即可，最终 = sinx·cosx
题型 2：sinα ± cosα 与 sinα·cosα 互求
(sinα + cosα)² = 1 + 2sinαcosα，展开即可互推。
注意定号：由 α 所在象限判断 sinα+cosα、sinα−cosα 的正负，开方时取正负。
题型 3：比较大小
同函数：用单调性；不同函数：统一成同名函数（如 sin 与 cos 互化）再比。
例：sin1 与 cos1 → cos1 = sin(π/2 − 1)，比较 sin1 与 sin(π/2−1)，π/2−1 ≈ 0.57 < 1，在 (0, π/2) 内递增 → sin1 > cos1。
易错点清单
考试丢分重灾区
- 符号错：诱导公式「符号看象限」时把 α 当锐角，但符号取的是原函数符号，正负写反扣全分
- 平移量算错：sin(2x+π/3) 平移 π/6 是给 x 加 π/6，不是给 φ 直接加
- ω<0 直接求单调区间：会得到反向区间，先提负号
- 正切定义域：tan 式子分母 cosx ≠ 0，求定义域丢 π/2+kπ 一组点
- 周期算错：y = |sinx| 的周期是 π；y = sin(ωx) 周期 = 2π/|ω|
- 对称中心是点、对称轴是直线：写出形式别混淆（对称中心形如 (kπ,0) 带坐标）
- 知一求二忘定象限符号：开方前先由象限决定 ±
八、考前速记卡
| 一句话 | 对应考点 |
|---|
| 奇变偶不变，符号看象限 | 诱导公式化简，逢题必用 |
| 一全正，二正弦，三正切，四余弦 | 定符号、定象限 |
| sin²α + cos²α = 1 | 同角互求、化简 |
| 周期：sin/cos 是 2π，tan 是 π | 周期性判断 |
| sin 对称轴 π/2+kπ，cos 对称轴 kπ，tan 无 | 对称性 |
| 左加右减，只动 x，量是 φ/ω | 图像平移 |
| A=(M−m)/2，ω=2π/T | 由图像求解析式 |
| ω<0 先提负号 | 单调区间不反 |
公式推导源（理解派可看）
诱导公式本质是「三角函数的对称性」：π+α 关于原点对称（奇）、−α 关于 x 轴对称（偶）、π−α 关于 y 轴对称、π/2±α 是互余互变。记住对称性，公式不用死背。